Hãy xem xét hệ thống thời gian biến đổi liên tục tuyến tính sau

x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\,} y ( t ) = C ( t ) x ( t ) . {\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t).\,}

Giả sử ràng các ma trận A , B ,  and  C {\displaystyle A,B,{\text{ and }}C} được cho cung như các đầu vào và đầu ra  u  and  y {\displaystyle u{\text{ and }}y} đối với tất cả t ∈ [ t 0 , t 1 ] {\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]} thì có thể xác định x ( t 0 ) {\displaystyle x(t_{0})} nằm trong một vector hằng số phụ, nằm trong không gian trống M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} được định nghĩa bởi

M ( t 0 , t 1 ) = ∫ t 0 t 1 ϕ ( t , t 0 ) T C ( t ) T C ( t ) ϕ ( t , t 0 ) d t {\displaystyle M(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t,t_{0})^{T}C(t)^{T}C(t)\phi (t,t_{0})dt}

trong đó ϕ {\displaystyle \phi } là ma trận dịch chuyển trạng thái.

Ta có thể xác định một x ( t 0 ) {\displaystyle x(t_{0})} duy nhất nếu M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} là ma trận khả nghịch. Thật ra, ta không thể phân biệt trạng thái ban đầu đối với x 1 {\displaystyle x_{1}} từ x 2 {\displaystyle x_{2}} nếu x 1 − x 2 {\displaystyle x_{1}-x_{2}} là không gian trống của M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} .

Ghi chú rằng ma trận M {\displaystyle M} được định nghĩa như trên có các tính chất sau:

• M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} có tính chất

đối xứng

• M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} là is nữa xác định dương đối với t 1 ≥ t 0 {\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}
• M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} thỏa mãn phương trình vi phân ma trận tuyến tính

d d t M ( t , t 1 ) = − A ( t ) T M ( t , t 1 ) − M ( t , t 1 ) A ( t ) − C ( t ) T C ( t ) , M ( t 1 , t 1 ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}M(t,t_{1})=-A(t)^{T}M(t,t_{1})-M(t,t_{1})A(t)-C(t)^{T}C(t),\;M(t_{1},t_{1})=0}

• M ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})} thỏa mãn phương trình

M ( t 0 , t 1 ) = M ( t 0 , t ) + ϕ ( t , t 0 ) T M ( t , t 1 ) ϕ ( t , t 0 ) {\displaystyle M(t_{0},t_{1})=M(t_{0},t)+\phi (t,t_{0})^{T}M(t,t_{1})\phi (t,t_{0})} [4]